函数是数学中比较的知识，利用函数解决问题应该形成一种思想，形成一种模式，对于函数的学习，不能死搬硬套，需要讲究的技巧。那么怎样去学习函数呢?首先应该明确函数的定义以及用法，其次是掌握函数的本质含义以及所代表的范围，较后明确函数的适用范围以及函数的解题模式。对于详细的数学函数的学习方法以及数学函数中的经典例题，下面一起来了解一下。

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　　函数可以说是高考数学的重中之重，几乎是每年高考数学考试热点之一。

　　这是为什么呢?从函数的定义我们可以看出一些端倪，传统函数定义：

　　一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。

　　x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域 。

　　现代数学函数的定义：

　　给定一个数集A，对A施加对应法则f，记作f(A)，得到另一数集B，也就是B=f(A)。那么这个关系式就叫函数关系式，简称函数。

　　函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

　　从这里我们可以看出，函数具有逻辑性强、系统性强、抽象等鲜明数学特点，同时解决函数类问题我们还要借助图象等手段，这就说明跟函数相关的问题，都蕴含包括数形结合在内等丰富的数学思想方法。

　　因此，函数类问题因其具有这些特殊性，在平时数学学习过程中能很好培养一个人的思维能力，在考试当中更加能考查一个人运用知识解决问题能力水平的高低，自然就成为高考数学的热门考点。

　　幂函数是高中函数中一种重要函数，也是5类基本初等函数之一，今天我们就来讲讲与幂函数相关的高考数学问题。

　　一般地.形如y=xα(α为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。如函数y=x0、y=x1、y=x²、y=x-1(注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0)等都是幂函数。

　　幂函数是形如y=xa的函数，a可以是自然数、有理数，也可以是任意实数或复数 。

　　大家要记住一些常用幂函数的图象与性质，如下表：

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　　典型例题分析1：

　　已知二次函数f(x)有两个零点0和-2，且它有较小值-1.

　　(1)求f(x)解析式;

　　(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式.

　　解：(1)由于f(x)有两个零点0和-2，

　　所以可设f(x)=ax(x+2)(a≠0)，

　　这时f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2-a，

　　由于f(x)有较小值-1，

　　所以必有a>0且-a=-1

　　解得a=1.

　　因此f(x)的解析式是f(x)=x(x+2)=x2+2x.

　　(2)设点P(x，y)是函数g(x)图象上任一点，

　　它关于原点对称的点P′(-x，-y)必在f(x)图象上，

　　所以-y=(-x)2+2(-x)，

　　即-y=x2-2x，

　　y=-x2+2x，

　　故g(x)=-x2+2x.

　　同时，要牢记以下幂函数图象的三个特点：

　　1、幂函数的图象会经过第一象限，不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性;

　　2、幂函数的图象较多只能经过两个象限内;

　　3、如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点是原点。

　　典型例题2：

　　设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=x，当x>2时，y=f(x)的图象是顶点为P(3,4)，

　　且过点A(2,2)的抛物线的一部分.

　　(1)求函数f(x)在(-∞，-2)上的解析式;

　　(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图;

　　(3)写出函数f(x)的值域.

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　　解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为

　　y=a(x-3)2+4，将(2,2)代入可得a=-2，

　　则y=-2(x-3)2+4，

　　即x>2时，f(x)=-2x2+12x-14.

　　当x<-2时，即-x>2.

　　又f(x)为偶函数，f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14，

　　即f(x)=-2x2-12x-14.

　　所以函数f(x)在(-∞，-2)上的解析式为

　　f(x)=-2x2-12x-14.

　　(2)函数f(x)的图象如图，

　　(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(-∞，4].

　　解决函数问题，我们都需要借助函数的图象与性质，如幂函数y=xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：

　　1、α的正负：

　　α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升;

　　α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降。

　　2、曲线在第一象限的凹凸性：

　　α>1时，曲线下凸;

　　0<α<1时，曲线上凸;

　　α<0时，曲线下凸.

　　在比较幂值的大小时，需要结合幂值的特点，选择适当的函数。借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键。

　　典型例题分析3：

　　已知函数f(x)=x2，g(x)=x-1.

　　(1)若存在x∈R使f(x)

　　(2)设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，

　　求实数m的取值范围.

　　解：(1)∃x∈R，f(x)

　　x2-bx+b<0⇒(-b)2-4b>0⇒b<0或b>4.

　　故b的取值范围为(-∞，0)∪(4，+∞).

　　(2)F(x)=x2-mx+1-m2，

　　Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4.

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　　典型例题分析4：

　　若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1.

　　(1)求f(x)的解析式;

　　(2)若在区间[-1,1]上，不等式f(x)>2x+m恒成立，求实数m的取值范围.

　　解：(1)由f(0)=1，

　　得c=1.即f(x)=ax2+bx+1.

　　又f(x+1)-f(x)=2x，

　　则a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x，

　　即2ax+a+b=2x，

　　所以2a=2且a+b=2.

　　解得a=1,b=-1.

　　因此，f(x)=x2-x+1.

　　(2)f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m，

　　即x2-3x+1-m>0，

　　要使此不等式在[-1,1]上恒成立，

　　只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的较小值大于0即可.

　　∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减，

　　∴g(x)min=g(1)=-m-1，

　　由-m-1>0得，m<-1.

　　因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞，-1).